История
Знаменитый греческий математик и философ Пифагор Самосский, давший свое имя теореме, жил 2,5 тыс. лет назад. Биография этого выдающегося ученого мало изучена, однако до сегодняшнего времени все же дошли некоторые .
По просьбе Фалеса, с целью изучения математики и астрономии, в 535 году до нашей эры он отправился в длинное путешествие в Египет и Вавилон. В Египте среди бескрайнего простора пустыни он увидел пирамиды, изумляющие своими огромными размерами и стройными геометрическими формами. Стоит отметить, что Пифагор их лицезрел в несколько ином виде, чем тот, в котором видят туристы сейчас. Это были невообразимо огромные для того времени сооружения с четкими ровными гранями на фоне прилегающих храмов поменьше, для жен, детей и других родственников . Кроме прямого назначения (усыпальницы и хранителя священного тела фараона) пирамиды сооружались и как символы величия, богатства и могущества Египта.
И вот Пифагор в ходе тщательного изучения этих конструкций заметил строгую закономерность в соотношении размеров и форм сооружений. Размерам Египетского треугольника соответствует пирамида Хеопса, она считалась священной и носила особенный магический смысл.
Применение египетского треугольника
В Древние века в архитектуре и строительстве египетский треугольник пользовался огромной популярностью. Особенно он был необходим, если для построения прямого угла использовали веревку или шнур.
Ведь известно, что отложить прямой угол в пространстве, является довольно таки сложным занятием и поэтому предприимчивые египтяне изобрели интересный способ построения прямого угла. Для этих целей они брали веревку, на которой отмечали узелками двенадцать ровных частей и потом с этой веревки складывали треугольник, со сторонами, которые равнялись 3 , 4 и 5 частям и в итоге без проблем, получали прямоугольный треугольник. Благодаря такому замысловатому инструменту, египтяне с огромной точностью размеряли землю для сельскохозяйственных работ, строили дома и пирамиды.
Вот так посещение Египта и изучение особенностей египетской пирамиды подтолкнуло Пифагора на открытие своей теоремы, которая, кстати, попала в Книгу Рекордов Гиннеса, как теорема, которая имеет самое большое количество доказательств.
Треугольные колеса Рело
Колесо
– круглый (как правило), свободно вращающийся или закреплённый на оси диск, позволяющий поставленному на него телу катиться, а не скользить. Колесо повсеместно используется в различных механизмах и инструментах. Широко применяется для транспортировки грузов.
Колесо существенно уменьшает затраты энергии на перемещение груза по относительно ровной поверхности. При использовании колеса работа совершается против силы трения качения, которая в искусственных условиях дорог существенно меньше, чем сила трения скольжения. Колёса бывают сплошные (например, колёсная пара железнодорожного вагона) и состоящие из довольно большого количества деталей, к примеру, в состав автомобильного колеса входит диск, обод, покрышка, иногда камера, болты крепления и тд. Износ покрышек автомобилей является почти решённой проблемой (при правильно установленных углах колёс). Современные покрышки проезжают свыше 100 000 км
. Нерешённой проблемой является износ покрышек у колёс самолётов. При соприкосновении неподвижного колеса с бетонным покрытием взлётной полосы на скорости в несколько сотен километров в час износ покрышек огромен.
- В июле 2001 года на колесо был получен инновационный патент со следующей формулировкой: «круглое устройство, применяемое для транспортировки грузов». Этот патент был выдан Джону Кэо, юристу из Мельбурна, который хотел тем самым показать несовершенство австралийского патентного закона .
- Французская компания Мишлен в 2009 году разработала пригодное к массовому выпуску автомобильное колесо Active Wheel со встроенными электродвигателями, приводящими в действие колесо, рессору, амортизатор и тормоз. Таким образом, эти колёса делают ненужными следующие системы автомобиля: двигатель, сцепление, коробку передач, дифференциал, приводной и карданный валы.
- В 1959 году американец А. Сфредд получил патент на квадратное колесо. Оно легко шло по снегу, песку, грязи, преодолевало ямы. Вопреки опасениям, машина на таких колёсах не «хромала» и развивала скорость до 60 км/ч.
Франц Рело
(Franz Reuleaux, 30 сентября 1829 – 20 августа 1905) – немецкий инженер-механик, лектор Берлинской Королевской Технической академии, ставший впоследствии ее президентом. Первым, в 1875 году, разработал и изложил основные положения структуры и кинематики механизмов; занимался проблемами эстетичности технических объектов, промышленным дизайном, в своих конструкциях придавал большое значение внешним формам машин. Рело часто называют отцом кинематики.
Цели урока
Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
Углубить знания по геометрии, изучить историю происхождения.
Закрепить теоретические знания учащихся о треугольниках в практической деятельности.
Познакомить учащихся с Египетским треугольником и его применением в строительстве.
Научиться применять свойства фигур при решении задач.
Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
Воспитательные – посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Полезно вспомнить
Треугольник
Треугольник
прямолинейный, часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (стороны Треугольника (в геометрии)), имеющими попарно по одному общему концу (вершины Треугольника (в геометрии)). Треугольник, у которого длины всех сторон равны, называется равносторонним
, или правильным
, Треугольник с двумя равными сторонами – равнобедренным
. Треугольник называется остроугольным
, если все углы его острые; прямоугольным
– если один из его углов прямой; тупоугольным
– если один из его углов тупой. Более одного прямого или тупого угла Треугольник (в геометрии) иметь не может, так как сумма всех трёх углов равна двум прямым углам (180° или, в радианах, p). Площадь Треугольник (в геометрии) равна ah/2, где а – любая из сторон Треугольника, принимаемая за его основание, a h – соответствующая высота. Стороны Треугольника подчинены условию: длина каждой из них меньше суммы и больше разности длин двух других сторон.
Треугольник
– простейший многоугольник , имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
- Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой, соответствует одна и только одна плоскость.
- Любой многоугольник можно разбить на треугольники – этот процесс называется триангуляция
. - Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников – Тригонометрия
.
Типы треугольников
По виду углов
Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:
- Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
- Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
- Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
По числу равных сторон
- Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон попарно различны.
- Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
- Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Египетский треугольник в строительстве
Свойства этой уникальной геометрической конструкции заключаются в том, что её построение без применения каких-либо инструментов позволяет построить дом с правильными во всех соотношениях углами.
Важно! Конечно, в идеале лучшим вариантом будет использование транспортира или угольника. Итак, качества египетского треугольника позволяют делать правильные во всех соотношениях углы
Стороны конструкции имеют следующее соотношение друг к другу:
Итак, качества египетского треугольника позволяют делать правильные во всех соотношениях углы. Стороны конструкции имеют следующее соотношение друг к другу:
Чтобы проверить ту ли фигуру вы начертили, используйте хорошо известную ещё со школьной скамьи Теорему Пифагора.
Внимание
! Свойства египетского треугольника таковы, что квадрат гипотенузы равен квадратам двух катетов. Для лучшего понимания возьмём приведенную выше зависимость и составим небольшой пример
Умножим пять на пять. В результате чего получим гипотенузу равную 25. Вычислим квадраты двух катетов. Они составят 16 и 9. Соответственно их сумма будет двадцать пять
Для лучшего понимания возьмём приведенную выше зависимость и составим небольшой пример. Умножим пять на пять. В результате чего получим гипотенузу равную 25. Вычислим квадраты двух катетов. Они составят 16 и 9. Соответственно их сумма будет двадцать пять.
Именно поэтому свойства египетского треугольника так часто используются в строительстве. Вам достаточно взять заготовку и прочертить прямую линию. Её длина всегда должна быть кратной 5. Затем нужно наметить один край и отмерять от него линию кратную 4, а от второго 3.
Внимание
! Длина каждого отрезка составит 4 и 3 см (при минимальных значениях). Пересечение этих прямых образует прямой угол, равняющийся 90 градусам
Альтернативные способы построить прямой угол на 90 градусов
Как уже упоминалось выше, наилучшим вариантом будет просто взять угольник или транспортир. Эти инструменты позволяют с наименьшими затратами времени и сил добиться нужных пропорций. Главное же свойство египетского треугольника заключается в его универсальности. Фигуру можно построить, не имея в арсенале практически ничего.
Сильно в построении прямого угла помогают простые печатные издания. Возьмите любой журнал или книгу. Дело в том, что в них соотношение сторон всегда составляет ровно 90 градусов. Типографические станки работают очень точно. В противном случае рулон, который заправляется в станок, будет резаться непропорциональными кривыми углами.
Как получить египетский треугольник при помощи верёвки
Свойства этой геометрической фигуры тяжело переоценить. Неудивительно, что инженерами древности было придумано множество способов её образования с использованием минимальных ресурсов.
Одним из самых простых считается метод образования египетского треугольника со всеми его вытекающими свойствами посредством простой верёвки. Возьмите бечёвку и разрежьте её на 12 абсолютно ровных частей. Из них сложите фигуру с пропорциями 3, 4 и 5.
Как построить угол в 45, 30 и 60 градусов
Безусловно, египетский треугольник и его свойства очень полезны при постройке дома. Но без других углов вам обойтись всё-таки не удастся. Чтобы получить угол, равняющийся 45 градусам, возьмите материал рамки или багета. После чего распилите его под углом в сорок пять градусов и состыкуйте половинки друг с другом.
Важно
! Для получения нужного наклона вырвите лист бумаги из журнала и согните его. При этом линии изгиба будут проходить через угол
Края должны совпасть.
Как видите, свойства фигуры позволяют гораздо проще и быстрее построить геометрический конструкт. Чтобы добиться соотношения сторон в 60 градусов нужно взять один треугольник на 30º и второй такой же. Обычно подобные пропорции необходимы при создании определённых декоративных элементов.
Внимание
! Соотношение сторон на 30º нужно, чтобы сделать шестиугольники. Их свойства востребованы в столярных заготовках
Вступительное слово
Знали ли в древнем Египте математику и геометрию? Не только знали, но и постоянно использовали ее при создании архитектурных шедевров и даже… при ежегодной разметке полей, на которых вода при наводнении уничтожала все межи. Даже существовала специальная служба землемеров, которые быстро с помощью геометрических приемов восстанавливали границы полей, когда вода спадала.
Пока неизвестно, как мы будем называть наше молодое поколение, которое вырастает на компьютерах, позволяющих не заучивать наизусть таблицу умножения и не производить в уме другие элементарные математические вычисления или геометрические построения. Может быть, человекороботами или киборгами. Греки же называли тех, кто не мог без посторонней помощи доказать простую теорему, профанами. Поэтому не удивительно, что саму теорему, которая широко использовалась в прикладных науках, в том числе и для разметки полей или строительства пирамид, древние греки называли «мостом ослов». А они очень хорошо знали египетскую математику.
Небольшие хитрости
Египетский треугольник 3х4х5 актуален для маленьких домов. Но, что делать, если дом 12х15?
Для этого нужно построить прямоугольный треугольник, у которого катеты равняются 12 и 15 м. Гипотенуза находится как квадратный корень из суммы 12х12 и 15х15. В итоге получаем 19,2 м. С помощью чего-либо — веревки, шпагата, бечевки, тросика, военного кабеля, отмеряем 12, 15 и 19,2 м. Делаем узлы на этих местах и ставим жимки.
Затем треугольник нужно растянуть на нужном месте и установить 3 точки опоры, в которые вбить колышки. Четвертую точку можно получить, не трогая концы катетов. Для этого точка прямого угла перекидывается по диагонали и все готово.
Например, есть участок, где требуется прямой угол – для места под кухонный гарнитур, раскладки кафеля и других моментов. Хорошо бы такие вопросы учесть при кладке, но реальность другая и не всегда попадаются ровные стены и прямые углы. Здесь пригодится египетский треугольник с соотношением 3:4:5, либо при необходимости 1,5:2:2,5.
Обязательно учитывается толщина маяков, погрешность, бугры на стенах и т.д. Треугольник рисуется с помощью рулетки и мела. Если разметка небольшая, то можно воспользоваться листом гипсокартона, так как режутся они с правильными углами.
Египетский треугольник широко использовался в строительстве целых 2,5 века. И сегодня иногда приходится применять данную методику, при отсутствии необходимых инструментов, чтобы получить прямые углы. Свойства этой фигуры уникальны, что гарантирует точность в архитектуре и строительстве, без которой не обойтись. С ним легко работать, по форме он гармоничен и красив. До сих пор пытливые умы пытаются разгадать тайну египетского треугольника.
Qpstol.ru – “Купистол” стремится предоставить лучший сервис своим клиентам. 5 звёзд на ЯндексМаркет.
Lifemebel.ru – гипермаркет мебели с оборотом более 50 000 000 в месяц!
Ezakaz.ru – Представленная на сайте мебель изготавливается на собственной фабрике в Москве, а так же проверенными производителями из Китая, Индонезии, Малайзии и Тайваня.”
Какие существуют альтернативные варианты
Как создать прямой угол
Лучшим вариантом смастерить прямой угол
является применение угольника или транспортира. Это позволит с минимальными затратами найти необходимые пропорции. Но, основной момент египетского треугольника в его универсальности из-за возможности создать фигуру, не имея под рукой ничего.
В этом деле может пригодиться все, даже печатные издания. Любая книга или даже журнал имеют всегда соотношение сторон, образующее прямой угол. Типографские станки работают всегда точно, чтобы рулон, заправленный в машину резался пропорциональными углами.
Древние инженеры придумывали много способов строительства египетского треугольника и всегда экономили ресурсы.
Поэтому, самым простым и широко применяемым был метод постройки геометрической фигуры с применением обычной веревки. Бралась бечевка и резалась на 12 ровных частей, из которых выкладывалась фигура с пропорциями 3,4 и 5.
Как создать другие углы?
Египетский треугольник в строительном мире нельзя недооценивать. Его свойства однозначно полезны, но без возможности построить углы другого градуса в строительстве невозможно. Чтобы образовался угол в 45 градусов, понадобится рамка или багет, которые распиливаются под углом в 45 градусов и соединяются между собой.
Итоги
Свойства египетского треугольника широко использовались в строительстве на протяжении почти, что двух с половиной веков. Даже сейчас при недостатке инструментов строители применяют эту открытую ещё Пифагором методику, чтобы добиться ровных прямых углов.
Строительство с применением египетского треугольника древний способ, активно используемый до сих пор современными строителями. Название получил благодаря древнеегипетским сооружениям, хотя известно, что история его начинается задолго до этого периода.
Но, скорее всего, свойства уникальной фигуры не были оценены в те времена, пока не появился Пифагор, сумевший проанализировать и оценить изящные формы фигуры.
Египетский треугольник известен еще с древних времен. Он был и остается популярен в строительстве и архитектуре много веков.
Считается, что создал геометрическую конструкцию великий греческий математик Пифагор Самосский. Благодаря ему сегодня мы можем использовать все свойства геометрической постройки в области строения.
Зарождение идеи
Надо заметить, что более двух с половиной тысяч лет назад пирамиды были несколько другими – огромными, с четкими гранями. Тщательно изучив могущественные постройки, коих было не мало, так как рядом с великанами, стояли храмы поменьше, построенные для детей, жен и других родственных лиц фараона, это натолкнуло его на мысль.
Благодаря своим математическим способностям, Пифагор сумел определить закономерность в формах пирамиды, а умение анализировать и делать выводы привели к созданию одной из самых значимых теорий в истории геометрии.
Из истории
Знали ли в древнем Египте о геометрии и математике? Конечно да. Жизнь египтян была тесно связана с наукой. Они регулярно пользовались знаниями при разметке полей, создании архитектурных шедевров. Даже существовала своя служба землемеров, которые применяли геометрические правила, занимаясь восстановлением границ.
Название треугольник получил благодаря эллинам, которые нередко бывали в Египте в VII-V вв. до н.э. Считается, что прообразом фигуры стала пирамида Хеопса
, отличающаяся совершенными пропорциями. Ее место особенное в истории. Если посмотреть поперечное сечение, то можно отметить два треугольника, у которых угол внутри равняется 51 о 50’.
Строение
Задача намного облегчается, если использовать транспортир или треугольник. Но, раньше применялись только шнуры и веревке, разделенные на отрезки. Благодаря отметкам на веревке можно было с точностью воссоздать прямоугольную фигуру. Строителям заменяла транспортир и угольник веревка, для чего отмечали узлами на ней 12 частей и складывали треугольник с отрезками 3,4,5. Прямой угол получался без затруднений. Эти знания помогли создать множество сооружений, в том числе пирамиды.
Свойства египетской треугольной фигуры подчиняются истине – квадрат гипотенузы равен квадратам двух катетов. Эта теорема Пифагора знакома каждому со школьной поры. Например, умножаем 5х5 и получаем гипотенузу равную числу 25. Квадраты обоих катетов равны 16 и 9, что в сумме дает цифру 25.
Благодаря таким свойствам, треугольник нашел применение в строительстве. Можно взять любую деталь, с целью провести линию прямого направления с условием, что ее длина должна быть кратной пяти. После этого заметить один край и прочертить от него линию кратную четырем, а от другого кратную трем. При этом каждый отрезок должен быть длиной минимум четыре и три. Пересекаясь, они образовывают один прямой угол в 90 градусов. Другие углы равны 53,13 и 36,87 градусам.
